미적분학 / 제6장 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각함수 / 제7절 쌍곡선함수
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6.7 쌍곡선함수


정의 (쌍곡선함수, hyperbolic functions)
`qquad` `sinh x = {e^x - e^{-x}}/2`
`qquad` `cosh x = {e^x + e^{-x}}/2`
`qquad` `tanh x = {sinh x}/{cosh x} = {e^x - e^{-x}}/{e^x + e^{-x}} = {e^{2x} - 1}/{e^{2x} + 1}`
`qquad` `sech x = {1}/{cosh x} = 2/{e^x + e^{-x}}`
`qquad` `csch x = {1}/{sinh x} = 2/{e^x - e^{-x}}`
`qquad` `coth x = 1/{tanh x} = {cosh x}/{sinh x} = {e^x + e^{-x}}/{e^x - e^{-x}} = {e^{2x} + 1}/{e^{2x} - 1}`




≤ x ≤
≤ y ≤
y =
   
≤ x ≤
≤ y ≤
y =
   
≤ x ≤
≤ y ≤
y =
   


≤ x ≤
≤ y ≤
y =
   
≤ x ≤
≤ y ≤
y =
   
≤ x ≤
≤ y ≤
y =
   






정리 6.21
  1. `sinh (-x) = - sinh x` `quad` 즉, `sinh` 함수는 기함수이다.
  2. `cosh (-x) = cosh x` `quad` 즉, `cosh` 함수는 우함수이다.
  3. `tanh (-x) = - tanh x` `quad` 즉, `tanh` 함수는 기함수이다.
  4. `sech (-x) = sech x` `quad` 즉, `sech` 함수는 우함수이다.
  5. `csch (-x) = - csch x` `quad` 즉, `csch` 함수는 기함수이다.
  6. `coth (-x) = - coth x` `quad` 즉, `coth` 함수는 기함수이다.
(증명)
  1. `sinh (-x) \=\ {e^{-x} - e^x}/2 \=\ - {e^x - e^{-x}}/2 \=\ - sinh x`
  2. `cosh (-x) \=\ {e^{-x} + e^x}/2 \=\ {e^x + e^{-x}}/2 \=\ cosh x`
  3. `tanh (-x) \=\ {sinh (-x)}/{cosh (-x)} \=\ {- sinh x}/{cosh x} \=\ - {sinh x}/{cosh x} \=\ - tanh x`
  4. `sech (-x) \=\ 1/{cosh(-x)} \=\ 1/{cosh x} \=\ sech x`
  5. `csch (-x) \=\ 1/{sinh(-x)} \=\ 1/{- sinh x} \=\ - 1/{sinh x} \=\ - csch x`
  6. `coth (-x) \=\ 1/{tanh(-x)} \=\ 1/{- tanh x} \=\ - 1/{tanh x} \=\ - coth x`




정리 6.22
  1. `cosh^2 x - sinh^2 x = 1`
  2. `1 - tanh^2 x = sech^2 x`
  3. `coth^2 x - 1 = csch^2 x`
(증명)
  1. `cosh^2 x - sinh^2 x = ({e^x + e^{-x}}/2)^2 - ({e^x - e^{-x}}/2)^2`
    `mphantom{cosh^2 x - sinh^2 x} = {(e^x + e^{-x})^2}/4 - {(e^x - e^{-x})^2}/4`
    `mphantom{cosh^2 x - sinh^2 x} = {e^{2x} + 2 + e^{-2x}}/4 - {e^{2x} - 2 + e^{-2x}}/4`
    `mphantom{cosh^2 x - sinh^2 x} = 2/4 - {- 2}/4 \=\ 4/4 \=\ 1`

  2. (i) 의 양변을 `cosh^2 x` 으로 나눈다.

  3. (i) 의 양변을 `sinh^2 x` 으로 나눈다.




정리 6.23
  1. `sinh (x +- y) = sinh x cosh y +- cosh x sinh y` (단, 부호는 복호동순)
  2. `cosh (x +- y) = cosh x cosh y +- sinh x sinh y` (단, 부호는 복호동순)
  3. `tanh (x +- y) = {tanh x +- tanh y}/{1 +- tanh x tanh y}` (단, 부호는 복호동순)
(증명)
  1. `sinh x cosh y + cosh x sinh y = {e^x - e^{-x}}/2 * {e^y + e^{-y}}/2 + {e^x + e^{-x}}/2 * {e^y - e^{-y}}/2`
    `mphantom{sinh x cosh y + cosh x sinh y} = {(e^x - e^{-x})(e^y + e^{-y})}/4 + {(e^x + e^{-x})(e^y - e^{-y})}/4`
    `mphantom{sinh x cosh y + cosh x sinh y} = {e^{x+y} + e^{x-y} - e^{-x+y} - e^{-x-y}}/4 + {e^{x+y} + e^{-x+y} - e^{x-y} - e^{-x-y}}/4`
    `mphantom{sinh x cosh y + cosh x sinh y} = {2e^{x+y} - 2e^{-x-y}}/4`
    `mphantom{sinh x cosh y + cosh x sinh y} = {e^{x+y} - e^{-x-y}}/2`
    `mphantom{sinh x cosh y + cosh x sinh y} = sinh (x + y)`

  2. `cosh x cosh y + sinh x sinh y = {e^x + e^{-x}}/2 * {e^y + e^{-y}}/2 + {e^x - e^{-x}}/2 * {e^y - e^{-y}}/2`
    `mphantom{cosh x cosh y + sinh x sinh y} = {(e^x + e^{-x})(e^y + e^{-y})}/4 + {(e^x - e^{-x})(e^y - e^{-y})}/4`
    `mphantom{cosh x cosh y + sinh x sinh y} = {e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y}}/4 + {e^{x+y} - e^{-x+y} - e^{x-y} + e^{-x-y}}/4`
    `mphantom{cosh x cosh y + sinh x sinh y} = {2e^{x+y} + 2e^{-x-y}}/4`
    `mphantom{cosh x cosh y + sinh x sinh y} = {e^{x+y} + e^{-x-y}}/2`
    `mphantom{cosh x cosh y + sinh x sinh y} = cosh (x + y)`

  3. `tanh (x + y) = {sinh (x + y)}/{cosh (x + y)}`
    `mphantom{tanh (x + y)} = {sinh x cosh y + cosh x sinh y}/{cosh x cosh y + sinh x sinh y}`
    `mphantom{tanh (x + y)} = {{sinh x}/{cosh x} + {sinh y}/{cosh y}}/{1 + {sinh x}/{cosh x} * (sinh y}/{cosh y}}`
    `mphantom{tanh (x + y)} = {tanh x + tan y}/{1 + tanh x tanh y}`

복호동순에서 - 부호인 것의 증명은 위와 비슷하므로 각자 증명하도록 한다.




정리 6.24
  1. `sinh 2x = 2 sinh x cosh x`
  2. `cosh 2x = cosh^2 x + sinh^2 x`
  3. `tanh 2x = {2 tanh x}/{1 + tanh^2 x}`
(증명)
  1. `sinh 2x = sinh x cosh x + cosh x sinh x = 2 sinh x cosh x`

  2. `cosh 2x = cosh x cosh x + sinh x sinh x = cosh^2 x + sinh^2 x`

  3. `tanh 2x = {tanh x + tan x}/{1 + tanh x tanh x} = {2 tanh x}/{1 + tanh^2 x}`




정리 6.25 (쌍곡선함수의 도함수)
  1. `d/{dx} sinh x = cosh x`
  2. `d/{dx} cosh x = sinh x`
  3. `d/{dx} tanh x = sech^2 x`
  4. `d/{dx} sech x = - sech x tanh x`
  5. `d/{dx} csch x = - csch x coth x`
  6. `d/{dx} coth x = - csch^2 x`
(증명)
  1. `d/{dx} sinh x = d/{dx} ({e^x - e^{-x}}/2) = {e^x + e^{-x}}/2 = cosh x`

  2. `d/{dx} cosh x = d/{dx} ({e^x + e^{-x}}/2) = {e^x - e^{-x}}/2 = sinh x`

  3. `d/{dx} tanh x = d/{dx} {sinh x}/{cosh x} = {cosh x cosh x - sinh x sinh x}/{cosh^2 x} = {cosh^2 x - sinh^2 x}/{cosh^2 x} = 1/{cosh^2 x} = sech^2 x`

(iv), (v), (vi) 도 (iii) 의 증명 처럼 몫의 도함수 공식 `d/{dx} ({f(x)}/{g(x)}) = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{(g(x))^2}` 을
사용하여 증명하면 된다.




정의 (역쌍곡선함수)
함수 `sinh^{-1}, Cosh^{-1}, tanh^{-1}, Sech^{-1}, csch^{-1}, coth^{-1}` 들은 각각
쌍곡선함수 `sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth` 들의 역함수이다.
단, `Cosh^{-1}` 은 정의역이 `[1, oo)`, 치역이 `[0, oo)` 인 함수이다.
또 `Sech^{-1}` 은 정의역이 `(0, 1]`, 치역이 `[0, oo)` 인 함수이다.






`y = sinh^{-1} x` 의 그래프

`y = Cosh^{-1} x` 의 그래프

`y = tanh^{-1} x` 의 그래프








`y = Sech^{-1} x` 의 그래프

`y = csch^{-1} x` 의 그래프

`y = coth^{-1} x` 의 그래프








정리 6.26 (역쌍곡선함수를 `ln` 함수로 표현한 식)
  1. `sinh^{-1} x = ln (x + sqrt{x^2 + 1})`
  2. `Cosh^{-1} x = ln (x + sqrt{x^2 - 1})` `quad` (단, `x >= 1` 일 때)
  3. `tanh^{-1} x = 1/2 ln {1 + x}/{1 - x} = 1/2 ln {:|{1 + x}/{1 - x}|:} = 1/2 ln {:|{x + 1}/{x - 1}|:}` `quad` (단, `|x| < 1` 일 때)
  4. `coth^{-1} x = 1/2 ln {x + 1}/{x - 1} = 1/2 ln {:|{x + 1}/{x - 1}|:}` `quad` (단, `|x| > 1` 일 때)
  5. `Sech^{-1} x = ln {1 + sqrt{1 - x^2}}/x` `quad` (단, `|x| < 1` 이고 `x != 0` 일 때)
  6. `csch^{-1} x = ln {1 + sqrt{1 + x^2}}/x` `quad` (단, `x != 0` 일 때)
(증명)
  1. `sinh^{-1} x = y` 로 놓는다.
    그러면 `x = sinh y = {e^y - e^{-y}}/2`
    `2x = e^y - e^{-y}`
    `e^y - 2x - e^{-y} = 0`
    `e^{2y} - 2x e^y - 1 = 0`
    `e^y = x +- sqrt{x^2 + 1}`
    `e^y > 0` 이므로 `e^y = x + sqrt{x^2 + 1}`
    `therefore y = ln(x + sqrt{x^2 + 1})`

  2. `Cosh^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y >= 0` 이고 `x >= 1`)
    그러면 `x = cosh y = {e^y + e^{-y}}/2`
    `2x = e^y + e^{-y}`
    `e^y - 2x + e^{-y} = 0`
    `e^{2y} - 2x e^y + 1 = 0`
    `e^y = x +- sqrt{x^2 - 1}`
    `e^y >= 1` 이므로 `e^y = x + sqrt{x^2 - 1}`
    `therefore y = ln(x + sqrt{x^2 - 1})` (단, `x >= 1`)

  3. `tanh^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `|x| < 1`)
    그러면 `x = tanh y = {e^{2y} - 1}/{e^{2y} + 1}`
    `x(e^{2y} + 1) = e^{2y} - 1`
    `x + 1 = (1 - x)e^{2y}`
    `e^{2y} = {1 + x}/{1 - x}`
    `2y = ln {1 + x}/{1 - x}`
    `therefore y = 1/2 ln {1 + x}/{1 - x}` (단, `|x| < 1`)

  4. `coth^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y != 0` 이고 `|x| > 1`)
    그러면 `x = coth y = {e^{2y} + 1}/{e^{2y} - 1}`
    `x(e^{2y} - 1) = e^{2y} + 1`
    `(x - 1)e^{2y} = x + 1`
    `e^{2y} = {x + 1}/{x - 1}`
    `2y = ln {x + 1}/{x - 1}`
    `therefore y = 1/2 ln {x + 1}/{x - 1}` (단, `|x| > 1`)

  5. `Sech^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y > 0` 이고 `0 < |x| <= 1`)
    그러면 `x = sech y = 2/{e^y + e^{-y}}`
    `1/x = {e^y + e^{-y}}/2`
    `2/x = e^y + e^{-y}`
    `e^y - 2/x + e^{-y} = 0`
    `e^{2y} - 2/x e^y + 1 = 0`
    `e^y = 1/x +- sqrt{1/{x^2} - 1}`
    `e^y >= 1` 이므로 `e^y = 1/x + sqrt{1/{x^2} - 1}`
    `therefore y = ln(1/x + sqrt{1/{x^2} - 1}) = ln {1 + sqrt{1 - x^2}}/x` (단, `0 < |x| <= 1`)

  6. `csch^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y != 0` 이고 `x != 0`)
    그러면 `x = csch y = 2/{e^y - e^{-y}}`
    `1/x = {e^y - e^{-y}}/2`
    `2/x = e^y - e^{-y}`
    `e^y - 2/x - e^{-y} = 0`
    `e^{2y} - 2/x e^y - 1 = 0`
    `e^y = 1/x +- sqrt{1/{x^2} + 1}`
    `e^y > 0` 이므로 `e^y = 1/x + sqrt{1/{x^2} + 1}`
    `therefore y = ln(1/x + sqrt{1/{x^2} + 1}) = ln {1 + sqrt{1 + x^2}}/x` (단, `x != 0`)




정리 6.27 (역쌍곡선함수의 도함수)
  1. `d/{dx} sinh^{-1} x = 1/sqrt{x^2 + 1}`
  2. `d/{dx} Cosh^{-1} x = 1/sqrt{x^2 - 1}` (단, `x > 1` 일 때)
  3. `d/{dx} tanh^{-1} x = 1/{1 - x^2}` `quad` (단, `|x| < 1` 일 때)
  4. `d/{dx} Sech^{-1} x = - 1/{x sqrt{1 - x^2}}` `quad` (단, `|x| < 1` 일 때)
  5. `d/{dx} csch^{-1} x = - 1/{|x| sqrt{1 + x^2}}` (단, `x != 0` 일 때)
  6. `d/{dx} coth^{-1} x = 1/{1 - x^2}` `quad` (단, `|x| > 1` 일 때)
(증명)
  1. `sinh^{-1} x = y` 로 놓는다.
    그러면 `x = sinh y`
    `{dx}/{dy} = cosh y = sqrt{sinh^2 y + 1} = sqrt{x^2 + 1}` `quad` (`because cosh y > 0`)
    `therefore {dy}/{dx} = 1/{\ {dx}/{dy} \ } = 1/sqrt{x^2 + 1}`

  2. `Cosh^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y >= 0` 이고 `|x| >= 1`)
    그러면 `x = cosh y`
    `{dx}/{dy} = sinh y = +- sqrt{cosh^2 y - 1} = +- sqrt{x^2 - 1}`
    `y >= 0` 이므로 `sinh y >= 0` `quad therefore {dx}/{dy} = sinh y = sqrt{x^2 - 1}`
    `therefore {dy}/{dx} = 1/{\ {dx}/{dy} \ } = 1/sqrt{x^2 - 1}` (단, `x > 1`)

  3. `tanh^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `|x| < 1`)
    그러면 `x = tanh y`
    `{dx}/{dy} = sech^2 y = 1 - tanh^2 y = 1 - x^2`
    `therefore {dy}/{dx} = 1/{\ {dx}/{dy} \ } = 1/{1 - x^2}` `quad` (단, `|x| < 1`)

  4. `Sech^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y >= 0` 이고 `0 < |x| <= 1`)
    그러면 `x = sech y`
    `{dx}/{dy} = - sech y tanh y = - sech y sqrt{1 - sech^2 y} = - x sqrt{1 - x^2}` `quad` (`y >= 0`)
    `therefore {dy}/{dx} = 1/{\ {dx}/{dy} \ } = - 1/{x sqrt{1 - x^2}}` `quad` (단, `0 < |x| < 1`)

  5. `csch^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `y != 0`)
    그러면 `x = csch y`
    `y > 0` (즉, `x > 0`) 이면 `qquad` `{dx}/{dy} = - csch y coth y = - csch y sqrt{csch^2 y + 1} = - x sqrt{x^2 + 1}`
    `y < 0` (즉, `x < 0`) 이면 `qquad` `{dx}/{dy} = - csch y coth y = csch y sqrt{csch^2 y + 1} = x sqrt{x^2 + 1}`
    따라서 `{dx}/{dy} = ` `- |x|` `sqrt{x^2 + 1}` `quad` (`forall x != 0`)
    `therefore {dy}/{dx} = 1/{\ {dx}/{dy} \ } = - 1/{|x| sqrt{x^2 + 1}}` `quad` (단, `x != 0`)

  6. `coth^{-1} x = y` 로 놓는다. (단, `|x| > 1`)
    그러면 `x = coth y`
    `{dx}/{dy} = - csch^2 y = - (coth^2 y - 1) = - (x^2 - 1) = 1 - x^2`
    `therefore {dy}/{dx} = 1/{\ {dx}/{dy} \ } = 1/{1 - x^2}` `quad` (단, `|x| > 1`)

(다른 증명)
  1. `sinh^{-1} x = ln (x + sqrt{x^2 + 1})`
    `therefore d/{dx} sinh^{-1} x = d/{dx} ln (x + sqrt{x^2 + 1})`
    `mphantom{therefore d/{dx} sinh^{-1} x} = 1/{x + sqrt{x^2 + 1}} * d/{dx} (x + sqrt{x^2 + 1})`
    `mphantom{therefore d/{dx} sinh^{-1} x} = 1/{x + sqrt{x^2 + 1}} * (1 + x/sqrt{x^2 + 1})`
    `mphantom{therefore d/{dx} sinh^{-1} x} = 1/{x + sqrt{x^2 + 1}} * {sqrt{x^2 + 1} + x}/sqrt{x^2 + 1}`
    `mphantom{therefore d/{dx} sinh^{-1} x} = 1/sqrt{x^2 + 1}`

  2. `Cosh^{-1} x = ln (x + sqrt{x^2 - 1})`
    `therefore d/{dx} Cosh^{-1} x = d/{dx} ln (x + sqrt{x^2 - 1})`
    `mphantom{therefore d/{dx} Cosh^{-1} x} = 1/{x + sqrt{x^2 - 1}} * d/{dx} (x + sqrt{x^2 - 1})`
    `mphantom{therefore d/{dx} Cosh^{-1} x} = 1/{x + sqrt{x^2 - 1}} * (1 + x/sqrt{x^2 - 1})`
    `mphantom{therefore d/{dx} Cosh^{-1} x} = 1/{x + sqrt{x^2 - 1}} * {sqrt{x^2 - 1} + x}/sqrt{x^2 - 1}`
    `mphantom{therefore d/{dx} Cosh^{-1} x} = 1/sqrt{x^2 - 1}`

  3. `tanh^{-1} x = 1/2 ln {1 + x}/{1 - x}`
    `therefore d/{dx} tanh^{-1} x = 1/2 * d/{dx} ln {1 + x}/{1 - x}`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = 1/2 * 1/{\ {1 + x}/{1 - x} \ } * d/{dx} ({1 + x}/{1 - x})`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = 1/2 * {1 - x}/{1 + x} * d/{dx} ({2 - (1 - x)}/{1 - x})`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = 1/2 * {1 - x}/{1 + x} * d/{dx} (2/{1 - x} - 1)`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = 1/2 * {1 - x}/{1 + x} * 2/{(1 - x)^2}`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = {1 - x}/{1 + x} * 1/{(1 - x)^2}`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = 1/{1 + x} * 1/{1 - x}`
    `mphantom{therefore d/{dx} tanh^{-1} x} = 1/{1 - x^2}`

(iv), (v), (vi) 이런 방법으로 증명할 수 있다.



예제 6.61
`d/{dx} tanh^{-1} (sin x)` 를 구하여라.
(풀이)
`quad` `d/{dx} tanh^{-1} (sin x) = 1/{1 - sin^2 x} * d/{dx} sin x`
`quad` `mphantom{d/{dx} tanh^{-1} (sin x)} = 1/{cos^2 x} * cos x = 1/{cos x} = sec x`




예제 6.62
`int_0^1 \ 1/sqrt{1 + x^2} \ dx` 를 구하여라.
(풀이)
`quad` `int_0^1 \ 1/sqrt{1 + x^2} \ dx = [ sinh^{-1} x ]_0^1 = sinh^{-1} 1 - sinh^{-1} 0`
`quad` `mphantom{int_0^1 \ 1/sqrt{1 + x^2} \ dx} = sinh^{-1} 1 = ln (1 + sqrt{2})`




쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 도함수 공식과 적분 공식
도함수 공식 적분 공식
  1. `d/{dx} sinh u = cosh u * {du}/{dx}`
  2. `d/{dx} cosh u = sinh u * {du}/{dx}`
  3. `d/{dx} tanh u = sech^2 u * {du}/{dx}`
  4. `d/{dx} coth u = - csch^2 u * {du}/{dx}`
  5. `d/{dx} sech u = - sech u tanh u * {du}/{dx}`
  6. `d/{dx} csch u = - csch u coth u * {du}/{dx}`
  7. `d/{dx} sinh^{-1} u = 1/sqrt{u^2 + 1} * {du}/{dx}`
  8. `d/{dx} Cosh^{-1} u = 1/sqrt{u^2 - 1} * {du}/{dx}` `quad` (단, `u > 1`)
  9. `d/{dx} tanh^{-1} u = 1/{1 - u^2} * {du}/{dx}` `quad` (단, `|u| < 1`)
  10. `d/{dx} coth^{-1} u = 1/{1 - u^2} * {du}/{dx}` `quad` (단, `|u| > 1`)
  11. `d/{dx} Sech^{-1} u = - 1/{u sqrt{1 - u^2}} * {du}/{dx}` `quad` (단, `|u| < 1`)
  12. `d/{dx} csch^{-1} u = - 1/{{:|u|:} sqrt{1 + u^2}} * {du}/{dx}` `quad` (단, `u != 0`)
  1. `int \ sinh u \ du = cosh u + C`
  2. `int \ cosh u \ du = sinh u + C`
  3. `int \ sech^2 u \ du = tanh u + C`
  4. `int \ csch^2 u \ du = - coth u + C`
  5. `int \ sech u tanh u \ du = - sech u + C`
  6. `int \ csch u coth u \ du = - csch u + C`
  7. `int \ 1/sqrt{u^2 + a^2} \ du = sinh^{-1} u/a + C
    (참고 1) (책의 부록 적분공식 25번, 43번)
    `qquad` `int \ 1/sqrt{u^2 +- a^2} \ du = ln |u + sqrt{u^2 +- a^2}| + C
    (참고 2) 삼각치환 `u = a tan theta` 를 사용하는 방법도 있음.
  8. `int \ 1/sqrt{u^2 - a^2} \ du = Cosh^{-1} u/a + C` `quad` (단, `u > a`) (참고 1) (책의 부록 적분공식 25번, 43번)
    `qquad` `int \ 1/sqrt{u^2 +- a^2} \ du = ln |u + sqrt{u^2 +- a^2}| + C
    (참고 2) 삼각치환 `u = a sec theta` 를 사용하는 방법도 있음.
  9. `int \ 1/{a^2 - u^2} \ du = 1/a tanh^{-1} u/a + C` `quad` (단, `|u| < a`)
    `int \ 1/{a^2 - u^2} \ du = 1/a coth^{-1} u/a + C` `quad` (단, `|u| > a`)
    (참고 1) (책의 부록 적분공식 19번)
    `qquad` `int \ 1/{a^2 - u^2} \ du = 1/{2a} ln |{u + a}/{u -a}|
    (참고 2) 부분 분수식
    `qquad` `1/{a^2 - u^2} = - 1/{u^2 - a^2} = - 1/{2a} (1/{u-a} - 1/{u+a})`
    `quad` 을 이용하는 방법도 있음.
  10. `int \ 1/{u sqrt{a^2 - u^2}} \ du = - 1/a Sech^{-1} u/a + C` `quad` (단, `|u| < a`)
    `int \ 1/{{:|u|:} sqrt{a^2 + u^2}} \ du = - 1/a csch^{-1} u/a + C` `quad` (단, `|u| > a`)
    (참고) (책의 부록 적분공식 35번)
    `qquad` `int \ 1/{u sqrt{a^2 - u^2}} \ du = - 1/a ln |{a + sqrt{a^2 - u^2}}/u| + C




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